Apuesta exponencial perdedora

Muchos de los juegos que se describen en el libro “Magia por principios” no contienen los fundamentos teóricos por los que dichos juegos funcionan. Así que, cuando me vuelva a encontrar con ellos por una u otra razón, trataré de completar aquí esa cuestión

En esta ocasión, lo haré con el juego del mismo título del capítulo X y cuya descripción vuelvo a transcribir:

Pido a un espectador que separe doce cartas de la baraja y escoja un número del uno al doce (digamos por ejemplo el seis). A continuación reparto sobre la mesa dos manos de cartas, cara abajo, alternativamente a izquierda y derecha, pero la carta que ocupa el lugar elegido (es decir, el seis) la repartiré cara arriba. Por último, coloco el primer montón sobre el segundo para recomponer el paquete.

Ahora viene la apuesta: el proceso anterior se realizará sucesivas veces; cada vez que la sexta carta repartida esté cara arriba, me ofrezco a entregar al espectador 100 euros (hay una versión en dólares para público americano); sin embargo, si dicha segunda, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez que eso suceda.

Intento explicar bien que, a medida que el juego avanza, el espectador tiene más posibilidades de ganar pues cada vez hay más cartas cara arriba y arriesga cantidades ostensiblemente menores que yo. Le trato de convencer de la gran ventaja que tiene pues yo ni siquiera tocaré las cartas en ningún momento (pero evidentemente sí controlaré que todo se realice con precisión).

Ya os podéis imaginar que no perderé nunca y el espectador pierde en total 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1024 = 2047 euros.

Las preguntas que surgen, inevitablemente, son:

• ¿Cuál es el principio en el que descansa el juego?
• ¿Tienen que ser 12 cartas?

Aunque no podamos responder a la segunda pregunta, la podemos justificar fácilmente en la presentación del juego, por ejemplo haciendo que el número elegido corresponda con el mes de nacimiento del espectador y explicando que la mecánica del juego refleja la fortuna de dicho mes de nacimiento.

En cualquier caso, la respuesta a estas cuestiones descansa en el proceso de reparto y en la permutación que se obtiene. Lo más fácil es considerar el conjunto de los N primeros números naturales ordenados de menor a mayor, hacer el reparto y ver la nueva posición de los N números, lo que indicaremos con la aplicación P_N. Si esta biyección tiene algún punto fijo, el juego no funcionará si se elige dicho punto. El juego sólo funciona si la permutación es cíclica (contiene un único ciclo de orden N).

Hay dos posibilidades, según que el número de cartas sea par o impar.

• Si el número de cartas es par, N= 2n, resulta

P_2n(2k-1)=n-k+1, k=1, …, n

P_2n(2k)=2n-k+1, k=1, …, n

• Si el número de cartas es impar, N = 2n+1, la permutación es

P_2n+1(2k-1)=n-k+2, k=1, …, n+1

P_2n+1(2k)=2n-k+2, k=1, …, n

No es fácil, para mí, calcular los valores de n para los que la permutación correspondiente es o no cíclica. Es relativamente fácil ir eliminando los casos que contienen puntos fijos, o ciclos de orden 2, y así sucesivamente, pero no parece fácil encontrar una fórmula general.

Uno de mis estudiantes, Iván Sánchez, ha escrito un programa con Mathematica para encontrar los valores de N con los que el juego puede realizarse y sus resultados son (hasta 52):

3, 4, 6, 9, 12, 22, 27, 28, 36, 46, 52

Algunas observaciones sobre esta sucesión:

1. Parecen estar todas las potencias de 3.
2. Los valores pares de la sucesión corresponden a la sucesión con referencia A163776 en la Online Encyclopedia of Integer Sequences, llamados primos de la permutación de mezclas que aparecen precisamente en mezclas similares a la mezcla faro y, curiosamente, describen aspectos de sincronización de procesos paralelos en Computación. Algunas de sus propiedades las demuestra Peter Asveld en el artículo Permuting Operations on Strings: Their Permutations and Their Primes. A modo de ejemplo, la más curiosa de sus propiedades es que si N es un elemento de la sucesión, N+1 es primo.

Así como encontramos muchos casos en la historia en los que los descubrimientos matemáticos se adelantan a sus aplicaciones tecnológicas, también vemos casos en los que juegos de magia se adelantan al estudio matemático de sus propiedades.