¿Mezcla el monje o Monge?

Una interesante variante de la mezcla australiana es la llamada mezcla Monge, así bautizada en honor del matemático francés Gaspard Monge (1746-1818), fundador de la geometría descriptiva. La mezcla se realiza de la forma siguiente:
•    Con el paquete de cartas en la mano izquierda, se empuja la carta superior y se pasa a la mano derecha.
•    A continuación, la nueva carta superior del paquete de la mano izquierda se empuja y se coloca sobre la carta de la mano derecha.
•    Se vuelve a empujar la carta superior del paquete de la mano izquierda y se coloca bajo las cartas de la mano derecha.
•    Se repite el proceso, sucesivamente una carta encima del paquete, una carta debajo, hasta acabar el paquete de la mano izquierda.
Es fácil deducir que el resultado de la mezcla puede anticiparse antes de realizarla si se conocen las propiedades de la misma.
-    Si utilizamos un número par de cartas ordenadas {1, 2, 3, ..., 2n}, al final de la mezcla se habrán separado las cartas pares de las impares, quedando en el orden {2n, 2n-2, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-1}.
-    Si utilizamos una cantidad impar de cartas {1, 2, 3, ..., 2n, 2n+1}, al final de la mezcla quedarán en el orden {2n, 2n-2, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-1, 2n+1}.
Observemos que, con un número impar de cartas, el resultado final coincide con el que se obtiene con una carta menos y la última carta no cambia su posición después de la mezcla. Esto significa que podemos limitar nuestro estudio a un número par de cartas.
Hay una fórmula sencilla que determina la posición de cualquier carta después de una mezcla Monge. Dada una baraja con 2p cartas, si una carta ocupa inicialmente la posición x₀, después de una mezcla Monge ocupará la posición x₁ dada por la fórmula:
2x₁ = 2p + x₀ + 1, si x₀ es impar;
2x₁ = 2p - x₀ + 2, si x₀ es par.

Tras un número determinado de mezclas, todas las cartas vuelven a su posición inicial. Dependiendo del número total de cartas que se mezclen, se necesitarán más o menos mezclas.
Por ejemplo, mezclas sucesivas en un paquete de seis cartas conducen a las siguientes permutaciones:
(1 2 3 4 5 6), (6 4 2 1 3 5), (5 1 4 6 2 3), (3 6 1 5 4 2),
(2 5 6 3 1 4), (4 3 5 2 6 1), (1 2 3 4 5 6),
lo que indica que son necesarias seis mezclas Monge para volver al orden inicial de las cartas.

Los siguientes juegos están descritos por Werner Miller en su columna de Online-Visions y Colm Mulcahy (en la foto con Alex Elmsley)

en su columna Card Colm de la Mathematical Association of America y en los que se utilizan pequeños conjuntos de cartas que son invariantes bajo una cantidad arbitraria de mezclas Monge, como puntos fijos, trasposiciones o ciclos de tres o cuatro cartas.


1. SIN VERLAS
Un espectador selecciona uno de los cinco símbolos ESP. Después de mezclar todas las cartas, el mago adivina el símbolo elegido sin necesidad de ver las cartas en ningún momento.

MARCHA
1. Entrega cinco cartas con los símbolos ESP a un espectador para que elija uno de ellos. A continuación mezcla el paquete y lo devuelve.
2. Con las cartas de dorso, las vas mostrando al espectador una por una, sin invertirlas, para que vea y recuerde la posición que ocupa su carta elegida.
3. Realiza tres veces una mezcla Monge aparentando desordenar completamente todo el paquete. En realidad, las cartas quedarán en el mismo orden inicial.
4. Vuélvete de espaldas al espectador e indícale que pase de arriba abajo tantas cartas como el lugar que ocupaba su carta en la situación anterior. Para ello usa como ejemplo el número uno y pasa una carta de arriba abajo, antes de entregarle el paquete para que lo haga.
5. Cuando lo haya hecho, vuélvete de cara al público y recibe las cartas. La carta elegida estará la segunda desde abajo, de modo que podrás adivinarla por cualquier método.

2. LA HERENCIA (de Werner Miller, basado en «Sneaky Will» de Stewart James).
Se cuenta la historia de unos herederos que no sabían repartirse la herencia. El mago interviene y logra hacer el reparto a gusto de todos.

MARCHA
1. Empieza narrando el problema clásico del sultán que deja en herencia todos sus camellos a sus tres hijos: el primero debe recibir la mitad, el segundo la tercera parte y el hijo menor la novena parte de sus camellos. En el momento de la muerte del sultán había 17 camellos, cantidad que no era divisible por dos, por tres ni por nueve. Al pedir la ayuda de un mago, éste ofreció regalarles su propio camello para que pudieran realizar el reparto. De este modo, el mayor recibió nueve camellos (la mitad de 18), el siguiente recibió 6 camellos y el menor de los hermanos dos camellos. Como todavía sobraba uno, el mago recuperó su propio camello.
2. Propón ahora recrear la historia con las cartas. Para simplificarlo, se utilizan sólo siete cartas que representan los camellos. En este caso, el hijo mayor debe recibir la mitad, el siguiente la cuarta parte, y el hijo menor la octava parte.
3. Reparte sobre la mesa, caras abajo, siete cartas y coloca encima de ellas, también cara abajo, un comodín, que representará el camello prestado por el mago.
4. Mientras cuentas las cartas en voz alta realiza una mezcla Monge.
5. Extrae del paquete la segunda, cuarta, sexta y octava cartas, que representarán la parte de herencia del hijo mayor. Del paquete restante extrae la segunda y cuarta cartas: la herencia del hijo mediano. Por último extrae la primera carta: la herencia del hijo menor. La carta restante será para el mago. Muestro dicha carta y se comprueba que es precisamente el comodín.

3. DONDE USTED QUIERA
Mezcla una baraja y reparte sobre la mesa diez u once cartas. Un espectador elige una de esas cartas y la devuelve al paquete. Mezcla de nuevo el paquete y deja que un espectador realice una o varias mezclas Monge (tú puedes hacer la primera para mostrar el método). Pide que nombren un número del uno al diez y, con las cartas en la espalda, anuncia que pasarás la carta elegida a dicha posición. Muestra las cartas y permite que comprueben que la carta elegida está en la posición correcta.

Secreto: Fíjate en la posición que queda la carta elegida al ser devuelta al paquete. Al mezclarlo, pasa la carta elegida al cuarto lugar desde arriba. Después de las mezclas Monge, dicha carta seguirá en la misma posición. Con las cartas a la espalda, pasa arriba o abajo las necesarias para que la carta elegida esté en la posición seleccionada.

4. LA MEJOR JUGADA DE PÓQUER
Entrega la baraja a un espectador para que la mezcle y seleccione diez cartas. Después de una breve mirada a las cartas, mézclalas un poco mientras anuncias que el espectador repartirá dos manos de póquer después de mezclar algunas veces. Al finalizar las mezclas, el espectador deletrea la frase "DOS JUGADAS Y UN GANADOR" pasando tres cartas de arriba abajo (una por cada letra de DOS) y repartiendo la siguiente, luego pasando siete cartas (una por cada letra de JUGADAS) y repartiendo la siguiente, y así sucesivamente hasta tener cinco cartas. Reparte las otras cinco para el mago y, al mostrar las jugadas, la del espectador siempre será la ganadora.

Secreto: Cuando el espectador ha seleccionado las diez cartas, las abres en abanico hacia ti buscando una jugada de póquer ganadora. Las cuatro cartas que forman la jugada ganadora debes situarlas en las posiciones segunda, cuarta, quinta y octava. Entrega las 10 cartas al espectador para que realice unas cuantas mezclas Monge, las cuales no alterarán las posiciones de dichas cartas. Al deletrear la frase "DOS JUGADAS Y UN GANADOR" las cartas que ocupaban dichas posiciones van a parar a la jugada del espectador. Esto asegura que tendrá la jugada ganadora.

5. CUATRO CARAS ROJAS
Mezcla una baraja y reparte sobre la mesa diez cartas. Entrega el paquete a un espectador para que realice unas cuantas mezclas Monge y abra las cartas en abanico, caras hacia él. Entonces tú adivinas el color de las diez cartas.

Secreto: Ordena la baraja de modo que la tercera, sexta, séptima y novena desde arriba sean rojas, y el resto de las diez primeras cartas sean negras. Mezcla la baraja manteniendo el orden de las diez primeras cartas y reparte sobre la mesa diez cartas. Así las rojas estarán en las posiciones 2, 4, 5 y 8, las cuales sólo intercambiarán sus posiciones después de algunas mezclas Monge. Ya sabes entonces cuáles son las cartas rojas y cuáles son las cartas negras entre las diez.

6. 4 – 3 – 2 – 1
Separa de la baraja los cuatro reyes y los cuatro ases (o cualesquiera dos conjuntos de cuatro cartas del mismo palo). Coloca un conjunto sobre el otro, sin importar el orden de los palos.
Muestra las cartas en abanico, ciérralo y realiza una mezcla falsa.
Reparte cuatro manos de dos cartas y pide al espectador que saque, sin ver, la carta superior del montón que prefiera.
Recoge el resto de cartas, recogiendo primero los montones de dos cartas, colocándolos uno encima de otro y dejando el paquete de seis cartas sobre la carta aislada.
Realiza una mezcla Monge y reparte tres manos de dos cartas. La última carta sobrante la apartas a tu lado.
Repite el proceso anterior: el espectador elige la carta superior de uno de los montones, recoges el resto de las cartas como antes y realizas una mezcla Monge.
Reparte ahora dos manos de dos cartas y quédate con la última.
Repite una tercera vez todo el proceso anterior: elección de una carta, recogida de los paquetes y mezcla Monge.
Reparte por último una mano de dos cartas y te quedas con la sobrante. El espectador se queda con la carta superior y tú con la inferior.
Al dar vuelta a las cartas elegidas, cada uno tendrá todas sus cartas del mismo valor.

7. Atrapada
Un espectador saca ocho cartas, las mezcla y reparte dos manos de cuatro cartas. Selecciona un paquete, mira y recuerda la carta inferior del mismo. Coloca este paquete sobre el otro.
Recoge el paquete completo y gira cara arriba la carta superior. Realiza una mezcla Monge y gira cara arriba la nueva carta superior. Realiza otra mezcla Monge y extiende en abanico las cartas. Habrá dos cartas caras arriba y entre ellas una carta cara abajo, que será la elegida.
Variante: Con siete cartas, el espectador reparte dos manos de tres cartas, se queda con la última, que recuerda, la deja sobre cualquier montón y lo tapa con el otro.
Ambas versiones pueden ser más interesantes si se empieza con dos cartas menos y se añaden cartas extra (por ejemplo, comodines) antes de cada mezcla Monge.

8. Catálisis
Muestra las cuatro damas, los cuatro reyes. Comprueba que el orden de las damas y los reyes sea el mismo.
Coloca uno de los grupos sobre el otro y pide a un espectador que corte.
Muestra el comodín y colócalo cara abajo en la parte inferior del paquete.
Realiza dos mezclas Monge.
Reparte sobre la mesa cuatro pares de cartas. Todas ellas estarán formadas por un rey y una dama del mismo palo. La carta restante será el comodín.